GRANDEURS EFFICACES

 

 

 

 

I) Grandeurs instantannées

En courant continu, les grandeurs restent en général identiques à elle-mêmes au cours du temps. Prenons par exemple la tension entre les bornes d'une pile de 5V que l'on observe pendant 10s:    

efficace3

Avec une tension sinusoïdale ce n'est pas pareil:

 

efficace4

Ici, la tension à l'instant t=10s vaut environ 5V, mais celle à l'instant t=22s est nulle. On ne peut donner qu'une valeur à un intant donné. Parfois comme dans le signal sinuoïdal ci-dessus on peut avec l'aide d'une formule retrouver la valeur de la tension à un instant donné. exemple:. Bien entendu il existe des signaux dont la forme ne correspond à aucune formules mathématiques. Heureusement pour nous, Joseph Fourier nous a indiqué qu'en général un signal quelconque peut être considéré comme étant la somme de fonctions sinuoïdales. Ce qui explique pourquoi l'étude des fonctions sinusoïdales est si importante.

 

 

 

II) Grandeurs moyennes

Prenons l'exemple d'une résistance R parcourue par un signal alternatif carré.

 

efficace1

Ce signal est autant positif que négatif, sa valeur moyenne est nulle. On peut la calculée mathématiquement, (on nomera <i>  l'intensité moyenne sur une période), cela fait:

 

efface2

On ne peut pas utiliser cette intensité moyenne pour calculer la chaleur débitée dans une résistance car elle serait toujours nulle:

 

 

III) Grandeurs efficaces

 

 définition la grandeur efficace est la grandeur continue qui produit le même effet joule que le signal variable.

 

1) tension efficace

 

 Prenons une tension u variable aux bornes d'une résistance R. L'énergie instantanée qu'lle dissipe dans cette résistance est dW=p dt. L'énergie W qu'elle dissipe dans la résistance pendant une période T est : 

mais  

En ce qui concerne la tension continue Ue qui aurait le même effet, l'énergie qu'elle dissiperait pendant un temps égal à la période du signal variable est:  

 

  Comme ces deux énergie doivent être égales (car les signaux doivent produire le même effet joules): 

 

 en simplifiant par R: 

d'où la formule de la tension efficace:          

 

de plus,  Si u est une grandeur sinusoïdale de la forme de: 

alors     

en utilisant la formule trigonométrique suivante:   on peut écrire:   

 d'où:       

 donc:  efficace7

et enfin:                

 

Donc  Pour un signal sinusoïdal la tension efficace Ue est égale à l'amplitude UM divisée par racine de 2 (qui vaut environ 1,414)

 

 

 Attention, ce rapport dépend de la forme du signal. Pour un signal rectangulaire comme celui-ci:

efficace8

On peut écrire que: efficace9

d'où:             et             ce qui est bien différent d'un signal sinusoïdal

 

 

2) Intensité efficace

 

 Le calcul est similaire à celui de la tension efficace: Pour le continu:   

 prenons pour i le cas le plus général où elle est déphasée par rapport à la tension: 

Comme:       alors:     efficacea

d'où efficacecce qui donne:  efficacef

comme   

d'où  

l'énergie dissipée devient alors:   

En comparant avec l'énerhie du signal continu:  

d'où:

 

 

III) Puissance moyenne

La puissance moyenne est donnée par la formule: 

où Pest la puissance moyenne et p la puissance instantanée.

 Soit la tension  et l'intensité dépasée par rapport à u: 

La puissance instantanée est alors:  

En utilisant la formule trigonométrique:    

on obtient :  

donc:

efficacehefficacei

efficacej

 comme:   

il reste:  

 d'où:  

On voit appraïtre les valeurs efficace de la tension et de l'intensité.

D'où le résultat bien connu valable seulement pour des signaux sinusoïdaux:

 

 

 

 IV La puissance efficace (RMS)

On confond beaucoup les puissances, en particuliers la puissance moyenne est souvent à tort appellée puissance efficace ou puisance RMS.

En fait la puissance moyenne se suffit à elle-même et devrait toujours être utilisée.

La puissance RMS devrait être écrite comme: 

Elle n'a aucun intérêt physique. Certain l'appelle aussi True RMS (TRMS).

Faisons tout de même quelques calcul avec.:

si    et 

alors :

en utilisant la formule :   on peut écrire:

efficacel

en développant:

efficacen

Ce que l'on peut écrire:

efficaceo

calcul de l'intégrale A:  

calcul de l'intégrale B: 

 ce qui donne:  

calcul de l'intégrale C:  

   

calcul de l'intégrale D:

utilisons la dormule trigonométrique:

Cela donne:

efficacep

d'où: efficaceq

efficaces

 donc:

 en rgroupant ABC et D on obtient:

soit encore: 

Cette formule n'est valable que pour un signal sinuoïdal et ne donne pas plus d'informations que la puissance moyenne.