Gain

 

LOGARITHMES ET DECIBELS

I) Les logarithmes

1) Faire une addition à la place d'une multiplcation

 

 

log1

Pour ajouiter deux nombres de la ligne B ( par exemple 8 et 256) on ajoute les nombres leur correspondant de la ligne A (3 et 8).

Cela donne 11, On recherche 11  dans la ligne A et le résultat est son correspondant sur la ligne B: 2048.

Cela peut paraître surprenant, mais ce n'est en fait que l'utilisation d'une formule sur les puissances

 

 

Dans l'exemple si dessus: 8=2 et 256=28.  ce qui donne:  23+8   = 211=2048.

Qu'est c que 3 pour 8:  8=2 x 2 x 2 = 23.

Comme ce sont des 2 qui se multiplent entre eux, on dira que la base est 2

On dit que 3 est le logarithme dans la  base 2 de 8.  On le note:

 

2) Les logarithmes décimaux 

Soit : 100000 = 10 x 10 x10 x 10 x10 = 105

La base est 10.  On dira que c'est des logarithmes de base 10 ou encore des logarithmes décimaux.

Donc 5 est le logarithme décimal de 100000. Comme ces logarithmes sont souvent utilisés, on a allégé la notation (on n'écrit pas la base)

 

5 = log(100000).   

 

3) Les logarithmes népériens.

Il existe des nombres en mathématiques qui sont des constantes très utiles. exemple: π qui vaut environ 3,14.

Et bien un nombre, le nombre d'euler e vaut environ 2,71828.  e ≈ 2,71828.

Ce nombre d'euler se calcule de la façon suivante:    

le point d'exclamation ! après un nombre se nomme factoriel et signifie qu'il faut multiplier tous les entiers inférieurs entre eux:

exemple:  3!= 1 x 2 x3 =6        4! = 1 x 2 x3 x 4 =25     7!= 1x2x3x4x5x6x7

Cette façon de procédé pour trouver e et de dire qu'il faut faire la somme en partant de 1 et aller jusqu'à l'infini de 1/n!. Ce qui est

poétiquement écrit sous cette formule: 

 Bon il suffit de savoir que e est un nombre qui est constant et vaut environ 2,71828.

Le nombre a tel que: a= e x e x e x e = e4.

La base est e, donc 4 est le logarithme de base e de a. Comme il est aussi très souvent utilisé on parlera de logarithme néperien (car Neper à travaillé comme Euler sur le nombre e). On les note soit ln soit Log (avec un L majuscule..

Donc ici, 4 = ln(a).

 

4) Porpriétés des logarithmes 

a) loga(a) =1

tout nombre a sauf peut s'ecrire a=a1.donc 1=loga(a)  

 En particulier: log(10) = 1  et ln(e) =1

 

b) loga(1)=0

quelque soit a différent de 0,  a0=1 donc 0=loga(1) : 

 

en particulier: log(1)=0 et ln(1)=0 

 

c) loga(xy)= loga(x) + loga(y)

posons :

  et 

et  

Il est toujours possible de faire ceci car les n,m et p sont des nombres réels.

d'après les formules sur les puisances: 

mais

d'où: 

on peut remplacer p,n,m par les hypothèses que nous avions posées au début: donc:

 

donc: 

en particulier: log(xy) = log(x) +log(y)   et    ln(xy)=ln(x)+ln(y)

 d) log(1/x)=-log(x)

 

En comparant ces deux résultats, on remarque que: 

En remplaçant y par 1/x on obtient:

on peut donc écrire:   log(1/x)=-log(x)   et   ln(1/x)=-ln(x)

 

e) log(x/y) =l og(x) - log(y)

posons z=1/y, alors log(x/y) = log(xz) = log(x) + log(z) = log(x) + log(1/y) = log(x) - log(y)

 

f) loga(xn)  =  n loga(x)

 

élevons x=ab à la puissance n, cela donne:

 

en exprimant en fonction des logaritrhmes:

 

En remplaçant b par notre supposition de la première ligne: 

 

en particulier:

log(23) = 3 log(2)

 

g) formule de changementde base. 

              

prenons le logarithme de base b des deux membres. (Comme la fonction logarithme est une bijection, on pourra conservé le sugne égal)

 

en remplaçant y par sa valeur de la première ligne : y = loga(x) on obtient:

 

d'où la formule: 

En particulier pour passer d'un logarithme décimal à un logarithme néperien:

 

 

 

II) Les gain en Puissance (BEL et déciBel)

 1) comparons deux puissances

Le train V 150 représente une puissance de 19,6 mégawatts: Si nous voulons comparer ceci aux 100W d'un émetteur, cela fait:

19600000W:100W=196000

Le train a une puissance qui est 196000 fois plus grande que celle d'un émetteur.

Le gain est le rapport de deux puissances

Si l'on veut représenter des rapports de telle façon sur une feuille A4 en optimisant les graduations, cela donne:

 

 log2

Pour que tout tienne sur une page, on a utilisé les logarithmes. La puissance est alors exprimée en BEL(B)

Le gain G s'exprime en BEL (B). les puissances de la formule doivent être dans la même unité de mesure.(ex le Watt)  

P0 est la puissance de référence, (celle sur laquelle on se base)

Exemple avec notre train:   P=19600000W    p0=100W          

.

On utilise souvent la dixième partie du Bel appelée: Le décibel (DB). Ce qui ici donne: 73 dB. On transforme souvent  la formule pour avoir directement des décibels. (soit un nombre 10 fois plus grand que pour le BEL)

 

 2) Que signifie 3db, 10 db et 20db

 

a) Si P est deux fois plus grand que P0

 Donc 3dB signifie que la puissance est deux fois plus grande que celle par rapport a laquelle on la compare. (-3dB une deux fois plus petite)

 

b) 10 dB

10 db = 1 B, donc le rapport des puissances est: 101  =10. la puissnce est 10 fois plus grande.

 

c) 20 db

20 dB= 2 B ==> le rapport des puissnaces est 102 = 100. Le rapprt des puissances est 100

Ce qui signifie que lorsque lors d'un QSO on dit que l'on reçoit un OM 59 + 20dB, qu'on le reçoit 100 f ois plus fort que le maximum!! 

30db mille fois plus fort

 

d) 0dB

on n'a pas de gain

 

 

 III) Les différentes sortes de décibel

Suivant ce que l'on choisi pour P0 (la référence) on peut définir différents décibels

1) Les dbm

P0 est égale à 1milliwatt (1mW).

P doit être exprimé en milliwatt.

Donc

 

 

 

2) Les dBd 

C'est le gain d'une antenne comparé à celaui qu'aurai un dipôle dans les mêmes conditions.

Donc le gain d'un dipôle est de 0dBd

 

3) Les dBi

Le i vient de isotrope qui signifie avoir les mêmes propriétés dans toutes les directions.

L'antenne isotrope n'exite pas, car elle devrait avoir les mêmes propriétés vers le haut, le bas, la gauche, la droite, devant, derrière etc...

Cependant il est facile de calculer le gain d'une telle antenne. Comme ce gain est supérieur à celui du dipôle de 2,15db, les constructeurs l'utilisent beaucoup.

 

 IV) Rapport en Volts

Comme    et    on peut les remplacer dans la formule des dB:

 

d'où

 

 

Certain parlent de dBV.

On peut définir P0 comme étant égal à 1µV, on parle alors de dBµV. il vaut:

        G en dbµV, U en µV

 

V) Rapport en intensité

 Comme        on peut écrire:

 

donc:

 

    

 I et I0 doivent être dans la même unité