Les Fractions

 

I) La division

 

1) La division euclidienne

 

divisionC'est la division avec reste de notre enfance.

On pourrait dire: 7 divisé par 2 égal 3 et il reste 1

 

Il existe une opération appellée modulo qui ne donne que le reste on la trouve sur les calculatrice scientifiques:

7 mod 2 =1

 

 

2) La division à virgule.

On l'écrit par exemple:  7:2= 3,5    (C'est la division que l'on utilise couramment).

 

 

II) Structure d'une fraction

 

La division 7:2 peut s'écrire:

on a nommé numérateur la partie haute et dénominateur la partie basse soit:

 

  

III) Simplification d'une fraction

 

Si on multiplie le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre (différent de 0), on obtient des fractions égales.

Par exemple avec , si on multiplie le numérateur et le dénominateur par 18 cela donne:

 

 les deux fractions    et   sont dites égales. (on obtient lle même résultat en faisant l'opération avec la calculette).

 

De la même façon, si l'on divise le dénominateur et le numérateur d'une fraction par un même nombre on obtient une fraction égale plus simple.

 est plus simple que  .

 

La fraction la plus simple, (celle qui a les plus petits dénominateurs et numérateurs entiers) s'appelle la fraction simplifiée.

 

IV) Comment simplifier une fraction?

 

On décompose le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers. exemple:

126 = 2 x 3 x 3 x 7   et   36 = 2 x 2 x 3 x 3.

Ce qui donne:

  

 

On peut barrer les nombres apparaissent àl a fois dans le numérateurs et le dénoninateur,   et il reste la fraction simplifée:

La plupart des calculatrices scientifiques sont capables de donner la fraction simplifiée.

 

V) Mettre des fractions au même dénominateur

 

Prenons comme exemple, les fractions  

Comme on peut multiplier le dénominateur et le numérateur d'une fraction par un même nombre, et obtenir un fraction égale, on peut pour chaque fraction prendre le dénominateur de l'autre. par exemple pour la fraction  prendre le dénominateur 5 de la fraction  ce qui donne:

 

Pour la fraction   on multiplise par 7 le dénominateur de   ce qui donne:

 

 

Les fractions    et   sont donc remplacées par les fonctions  qui ont le même dénominateur.

 

 VI) Addition des fractions

 

Pour ajouter deux fractions, il faut:

  1. Les mettre au même dénominateur
  2. La fraction finale aura ce dénominateur.
  3. ajouter les numérateurs
  4. simplifier la fraction obtenue.

 

Par exemple ajoutons  et

 

 

VII) soustraction de fractions

 

On procède comme pour l'addition, mais il faudra soustraire le numérateur au lieu de les ajouter. Exemple:

 

 

 VIII) multiplication de fractions

 

 Pour multiplier les fractions:

  1. On multiplie les numérateurs entre eux.
  2. On multiplie les dénominateurs entre eux.
  3. On simplifie si nécessaire la fraction obtenue.

Exemple:

      

qui se simplifie en:      

Le résultat est donc     .

 

IX) division de fractions

 

 Faisons ceci sur un exemple. Divisons    par  .

En utilisant les nombres, il est facile de voir que le résultat est: 0,8 : 0,4 = 2

 

Enonçons la règle de division des fractions et voyons si elle fonctionne:

Pour diviser un fraction par une autre, il faut la multipliée par la fraction inversée.

 

 

Bon ce n'est ps une démonstration, mais il ne faut pas trop compliquer les choses.