Les Puissances

 

i) Notion de puissance .

soit le nombre :

  2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2

 

Il est un peu long à écrire. Imaginez avoir à l’écrire 1000 fois!

Les mathématiciens ont chercher une façon de simplifier son écriture. Pour cela ils ont compté le nombre de 2. il y a 16 deux qui se multiplies entre eux. Ils ont pris une écriture en exposant pour définir ce nombre. donc :

2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 = 216

 

On dit deux à la puissance 16

 

Bien sur ce nombre est encore petit et calculable facilement (il vaut 65536), mais on utilise souvent des nombres bien plus grands et les puissances sont indispensables. Si les nombres qui se multiplient entre eux sont des 10 alors on parle de puissances de dix.

exemple : 10×10×10×10×10×10×10 = 107

Dans le cas général où le nombre est inconnu (appelons le a) et que n se multiplient on écrira :

an

 

 

 II) multiplication

 Soit

2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 = 216

 

peut s’écrire :

 

an1

 

 

 donc:

24 ×212 = 24+12 = 216

 d'où la formule:   an2

 III) Division

 

Pour pouvoir diviser ou simplifier, il faut que ce soit des puissances du même nombre. Si nous voulons diviser :an4

Cela peut se simplifier:

an3

On voit donc apparaître cette formule :

 

an5

 

IV) Un nombre à la puissance zéro?

 

Prenons par exemple          

Bon cela fait 1 mais si l’on applique le formule de la division des puissance on obtient    :

 

Donc un nombre à la puissance zero vaut 1 (sauf le petit canard 00 qui est gênant (on dit qu’il est indéterminé.) D’où la règle :

Tout nombre à la puissance 0 vaut 1 sauf 0 qui est indéterminé

 

 V) Et les puissances de puissance?

 

Supposions que nous ayons à calculer :    On peut écrire :

 an6

d'où la formule:

an7

 

 

VI) Les puissance de 10

 

Les puissances de 10 jouent un rôle particulier. En effet multiplier 10 par 10 donne 100 ce qui revient à rajouter deux 0 après le 1

Regardons le tableau suivant où l’on passe d’une ligne à la suivante en divisant par 10.

10 x10 x10 x10 x10 = 100000 = 10  Il faut rajouter 5 zéros après le 1

10 x10 10 x10         =  10000   =

 

 

10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100000 = 105 Il faut rajouter 5 zéros après le 1
10 x 10 x 10 x 10 = 10000 = 104 Il faut rajouter 4 zéros après le 1
10x 10 x10 = 1000 = 103 Il faut rajouter 3 zéros après le 1
10x10 = 100 = 102 Il faut rajouter 2 zéros après le 1
10 = 10 = 101 Il faut rajouter 1 zéro après le 1
1 = 1 = 100 tout nombre à la puissance 0 vaut 1 sauf 00
  0,1  = 10-1   Il y a 1 zéro avant le 1 (avec celui devant la virgule)
 

 = 0,01  10-2   Il y a 2 zéros avant le 1 (avec celui devant la virgule)
 

 = 0,01  10-3   Il y a 3 zéros avant le 1 (avec celui devant la virgule)

 

 Si la puissance de 10 est positive, elle correspond aux nombres de zéros après le 1

Si elle est négative elle correspond aux nombres de zéros avant le 1 en comptant celui avant la virgule

 

 

VII)  Nombres scientifiques

 

Soit le nombre d’Avogadro : 602300000000000000000000

Il est toujours possible de l’écrire sous la forme d’un nombre décimal compris entre 1 et 10 multiplié par une puissance de 10.

Ici : 602300000000000000000000 = 6,023 × 100000000000000000000000

Mais le 100000000000000000000000 peut s’écrire 1023 Il est plus commode d’écrire le nombre d’avogadro sous la forme: 6,023×1023

Un nombre mis sous cette forme est appelé un nombre scientifique.

Un autre exemple :

La fréquence de la bande des 40m est de l’ordre de 7000000Hz.

Pour le mettre sous forme scientifique :            7000000 = 7×1000000 = 7×106Hz