Les phénomènes périodiques

 

I) Qu'est-ce qu'un phénomène périodique?

 Certains phénomènes se reproduisent au cours du temps. Exemple:

  • La terre tourne autour du soleil (en 1 an)
  • Un moteur qui tourne.
  • Une mitraillette qui tire des balles.
  • La distribution du courrier par le facteur (tous les jours)

Un mouvement périodique est un mouvement qui se reproduit à l'identique au cours du temps.

 

II) La période T du phénomène

C'est le temps qui s'écoule entre deux apparitions successives du phénomène

Exemple:

  • La période de rotation de la terre autour du soleil est de T=1 an.
  • La période de distribution du courrier par le facteur est de T=1 jours.

Rappelons que dans le systeme International (S.I.) La période doit s'exprimer en secondes (s) 

 

II) La fréquence (F) du phénomène

C'est le nombre de fois que le phénomène se produit pendant une unité de temps.
Si cette unité de temps est la seconde, l'unité de fréquence est alors le HERTZ (Hz)

Prenons l'exemple d'une mitraillette qui tirerait n = 100 coups en t = 20s. La fréquence de tir de la mitraillette est de:

  

Ce qui signifie qu'elle tire 5 coups par secondes.

 

 

 III) Relation entre la période (T) et la Fréquence (F)

Nous venons de voir que la fréquence de notre mitraillette peut se calculer par 

 

Calculons maintenant le temps T entre le tir de deux balles successives.

Il se produit n=100 tirs en t=20s. Le temps qui s'écoule entre deux tirs est donc :

On remarque que    et que 

On en déduit donc que:

 

        et que   

 

IV) La fréquence de rotation d'un moteur

Cela ne diffère pas de la fréquence, c'est juste l'unité courament utilisée qu'il faut connaître.

Si un moteur fait n=20000 tours en t=10s, sa fréquence de rotation est :

 

Plus cette fréquence est importante, plus le moteur tourne vite.

 

V) La mesure des angles

1) Le sens trigonométriquesens trigonometrique

Lorsque qu'un objet tourne, il peut le faire de deux façons:

  • Tourner dans le même sens que les aiguilles d'une montre
  • Tourner en sens inverse de celui d'une montre.

Les mathématiciens ont décidés que

le sens trigonométrique est celui des objets qui tournent dans le sens inverse de celui des aiguilles d'une montre.

  

 

2) les degrés (°)

Ce sont les unités que l'on utilise habituellement. Ce qu'il faut savoir c'est qu'un angle droit fait 90°, qu'un angle plat fait 180° et qu'un tour complet fait 360°.

 

3) Les grades (gon)

Cette unité ne nous servira jamais, j'en donne les comparaisons:

l'angle droit fait 100 gon, l'angle plat fait 200 gon et un tour complet fait 400gon.

 

4) Les radians (rad)

Cette unités est très utile, c'est celle du système international.

un angle plat fait π rad. donc 180° = π rad.            π valant environ 3,14

un angle droit fait donc π/2 rad donc 90°=π/2 rad

un tour complet fait donc 2π rad donc: 360° = 2π rad.

Calculons combien de degrés correspondent à 1 radian:  π rad = 180° donc

Intérêt du radian:

Calculons la longueur des arcs d'un cercle de rayon R dans les cas suivants:

angle en degrés angle en radian longueur de l'arc
360° 2πR
180° π πR
90° π/2 πR/2
180/π ° 1 R
180x/π ° x xR

Du tableau précédent on peut remarquer que si l'angle fait 1 radian, la longueur de l'arc qu'il intercepte est égale au rayon du cercle. D'où la définition du radian:

Un angle de 1 radian est un angle qui intercepte un arc dont la longueur est égale à celle du rayon du cercle.

Il en résulte que connaissant un anle de x radians, on connait aussitôt la longueur de l'arc de cercle: xR.

De la même façon, si l'on connait la longueur L de l'arc, on connait immédiatement l'angle: L/R.

 

5) vitesse angulaire ω (on dit aussi pulsation)

C'est l'angle parcouru pendant 1s.

Prenons notre moteur tournant à 2000 tours par secondes.

 

 Si l'unité est le dégré:

cherchons l'angle parcouru pendant 1s. A chaque tour il fait 360°, donc pour 2000 tours il fait 2000 x 360°= 720 000 °/s

donc ω = 720 000 degrès par secondes.

 

Si l'unité est le grade:

1 tours fait 400gon donc la vitesse angulaire est de: ω = 2000 x 400 = 800 000 gon/s

 

Si l'unité est le radian

1 tour fait 2π rad donc ω = 2000 x 2π = 4000π rad/s

C'est cette dernière unité qu'il faut utiliser dans le système international. en fait il est préférable d'écrire:

 

VI) Relation entre F, T et ω

 Chaque fois que l'on fait n tours pendant t secondes, F=n/t . mais à chaque tour on fait 2π rad, donc ω = 2πF.

On peut trouver que T=1/F= 2π/ω

 

Résumons donc les formules importantes de ce cours: